根据伯努利定理，理想流体在流线型或稳定流动中是守恒的。液体和气体等流体在这一定理的指导下，会随着压力、速度和高度的变化而运动。由于这一定理的存在，流体流动是稳定的（即层流的），且具有极低的压缩性或粘度（内摩擦）。根据伯努利定理，水平流动的流体在流速较高的位置压力会较低。数学家丹尼尔·伯努利于1738年在瑞士首次推导出了这一定理。根据其定义，“流体的机械能是恒定的。”
为了保持恒定的体积流量，不可压缩的流体在接近狭窄的通道时必须加速。这就是为什么软管上的小喷嘴能让水流得更快。当水流在狭窄处加速时，它就会积累动能。赋予动能实际上就是对流体施加了能量。如果流体的某一部分在加速，那么就必须从外部对流体施加能量。在图中，可以看到流线从左向右流动。被高亮显示的水体在进入狭窄区域时加速。P1 对水施加力，使其向右移动并产生正功；而在流体中，由于流体压力 P2 的方向与水流方向相反，因此会产生负功。
如果 P1 的宽度/速度大于 P2 的宽度/速度，那么 P1 必须施加比 P2 更大的压力。伯努利原理阐述了流体中某一点的压力与速度之间的反比关系。
伯努利定理用于描述压力在运动中的不可压缩流体中的分布。需要注意的是，管道的直径和温度在整个系统中保持不变。如图所示，一根导管将流体从点1输送到点2。泵提供能量以推动流体向上流动。假设在点1处有一个装有1磅流体的通道。
P1 lb/ft² 是该点的压力。如果流体的平均速度为 V1 lb/sec，其比体积为 V1 ft³/lb，那么点1位于水平底面以上 h1 的高度处。在点1处，一磅流体的势能等于 h1 英尺的高度乘以重力加速度（g）。由于流体以速度 V1 移动，因此这一磅流体的动能为 (V1/2) × g × h1 英尺·磅。这个公式是基于流体在系统中的平均速度（V）得出的。实际上，平均速度与“平均速率”并不相同；流体通过通道时，每磅流体会产生相应的动能。
流体的重量由其质量决定，通道的半径由其自身尺寸决定，而局部速度则由其距离通道轴线的距离决定。由于通道内部不同位置的速度分布各不相同，因此只能计算实际的速度分布，而不能计算其积分值。每种情况都会生成一个单独的速度分布曲线。因此，从实际意义上讲，动能表示为 V²/gc，其中 gc 是一个用于修正通道内不同位置速度差异的校正因子。当湍流状态（turbulent flow）为 2、粘性流动状态（viscous flow）为 1 时，该公式适用。
在点2处，速度V2等于压力P2，同时流体体积为V2*。
能量守恒定律适用于点1和点2之间的系统。据认为，泵向系统中输入了能量。流体的重量等于“W”磅，这对应着相应的能量。摩擦力将部分能量转化为热能，当这些热能处于恒定温度下时，会通过辐射作用散失到环境中。
摩擦会导致每磅流体损失‘F’磅的能量。点1和点2之间的能量平衡决定了系统的总能量。
如果流体ρ的密度是lb/ft³，那么
在这种情况下，方程式变为：
在上述方程中，能量是以进入系统的1磅流体的形式来表示的，而质量则以千克为单位进行表述。
由此产生的湍流涡旋使得流体与边界分离，导致热量通过辐射方式散失。流经较窄和较宽管道的液体的压力（P1, V1）以及速度（P2, V2）分别对应于相应的压力（P1, V1）和流量（Q）。
Q = A1V1 + A2V2
作用在受控体积上的流体动力，其方向与流动方向一致，可描述为：
P1A1 + P1 (A2 – A1) – P2A2 = (P1 – P2) × A2
当牛顿第二定律被用来计算动量变化率以及由于两个部分‘1’和‘2’突然扩大而产生的压头损失时，当应用伯努利方程时，我们得到……
为了表达方程（3），需要使用连续性方程。
头部的突然增大可以通过方程式（3）和（4）来表示。
当液体从较粗的管道流向较细的管道时，会在两者之间形成一个收缩区域（vena-contract）。随后，液体进一步扩散，直到完全充满较细的管道。在这个收缩区域与管道壁之间会形成许多涡流，导致大量的能量损失。由于管道突然扩张，该区域也会出现类似的流动模式。
头部突然收缩会导致以下头部结构的丧失：
管道中的液体以平均速度 V 流动。
流动通道中的阻塞导致的能量损失
该图展示了流体流动受阻时，管道横截面积如何突然减小，随后流体在受阻区域之后迅速扩散，从而导致能量损失。
例如，想象一个管道中的流体流动情况：在管道中放置了一个最大横截面积为 'a' 的障碍物。这导致流道面积减小到 (A - a)，并且在距离障碍物一定距离处形成了一个流速变窄的区域（即“vena-contracta”）。在该区域之后，流体流动变得均匀。Vc 和 V 分别代表流速均匀区域的流速，因此可以通过流速变窄区域和流速均匀区域的流速来计算压头损失。
为了保持恒定的体积流量，不可压缩的流体在接近狭窄的通道时必须加速。这就是为什么软管上的小喷嘴能让水流得更快。当水流在狭窄处加速时，它就会积累动能。赋予动能实际上就是对流体施加了能量。如果流体的某一部分在加速，那么就必须从外部对流体施加能量。在图中，可以看到流线从左向右流动。被高亮显示的水体在进入狭窄区域时加速。P1 对水施加力，使其向右移动并产生正功；而在流体中，由于流体压力 P2 的方向与水流方向相反，因此会产生负功。
如果 P1 的宽度/速度大于 P2 的宽度/速度，那么 P1 必须施加比 P2 更大的压力。伯努利原理阐述了流体中某一点的压力与速度之间的反比关系。
伯努利方程
在伯努利方程中，重力势能被作为一种普遍的、数学上的变体纳入伯努利原理的考量之中。该方程描述了流体在两点（1和2）处的压力、速度以及高度，这些参数均与流体的密度‘ρ’有关。伯努利定理用于描述压力在运动中的不可压缩流体中的分布。需要注意的是，管道的直径和温度在整个系统中保持不变。如图所示，一根导管将流体从点1输送到点2。泵提供能量以推动流体向上流动。假设在点1处有一个装有1磅流体的通道。
P1 lb/ft² 是该点的压力。如果流体的平均速度为 V1 lb/sec，其比体积为 V1 ft³/lb，那么点1位于水平底面以上 h1 的高度处。在点1处，一磅流体的势能等于 h1 英尺的高度乘以重力加速度（g）。由于流体以速度 V1 移动，因此这一磅流体的动能为 (V1/2) × g × h1 英尺·磅。这个公式是基于流体在系统中的平均速度（V）得出的。实际上，平均速度与“平均速率”并不相同；流体通过通道时，每磅流体会产生相应的动能。
流体的重量由其质量决定，通道的半径由其自身尺寸决定，而局部速度则由其距离通道轴线的距离决定。由于通道内部不同位置的速度分布各不相同，因此只能计算实际的速度分布，而不能计算其积分值。每种情况都会生成一个单独的速度分布曲线。因此，从实际意义上讲，动能表示为 V²/gc，其中 gc 是一个用于修正通道内不同位置速度差异的校正因子。当湍流状态（turbulent flow）为 2、粘性流动状态（viscous flow）为 1 时，该公式适用。
在点2处，速度V2等于压力P2，同时流体体积为V2*。
能量守恒定律适用于点1和点2之间的系统。据认为，泵向系统中输入了能量。流体的重量等于“W”磅，这对应着相应的能量。摩擦力将部分能量转化为热能，当这些热能处于恒定温度下时，会通过辐射作用散失到环境中。
摩擦会导致每磅流体损失‘F’磅的能量。点1和点2之间的能量平衡决定了系统的总能量。
如果流体ρ的密度是lb/ft³，那么
在这种情况下，方程式变为：
在上述方程中，能量是以进入系统的1磅流体的形式来表示的，而质量则以千克为单位进行表述。
伯努利定理的应用
- 利用伯努利方程，可以计算出流经管道的流体体积。
- 它使我们能够量化流体从具有某一横截面积的管道流到具有另一横截面积的管道时所经历的速度和压力的变化。当流体从较大的管道流入较小的管道时，其速度和压力会增加。这种关联在通过维持恒定的流体压力来防止水管故障方面尤为重要。过高的压力可能会导致管道爆炸，从而造成严重的损坏。
- 如果已知叶片附近的流体流动特性，就可以利用它来计算作用在叶片上的升力。
- 为了计算飞机的空速，会使用皮托管（Pitot tubes）和静压孔（static ports）。空速指示器根据伯努利原理进行校准，从而显示与动态压力相匹配的指示空速。
- 德拉瓦尔喷嘴（De Laval nozzle）利用伯努利原理，通过将燃料燃烧产生的压力能转化为动能（即速度）来产生推力。
- 除了使用文丘里流量计外，还可以在管道中插入一个孔板来减小管道的内径，从而测量流速。对于不可压缩流体来说，直径的减小可能会导致流速的增加。为了满足伯努利原理，直径较小的区域必须处于低压状态。
- 如果一个罐子的底部有开口，那么顶部的排水速率可以直接使用伯努利方程来计算，其结果与罐内液体的深度成正比。粘度会降低排水速率；这个关系由一个“排放系数”来表示，该系数由雷诺数和孔口几何形状决定。
- 当夹具与表面接触时，伯努利原理产生的吸附力会形成一种非接触式的粘附力。
能量损失
大规模的湍流是由流体速度（无论是大小还是方向）的变化引起的。辐射最终会消耗掉流动流体所拥有的部分能量，这种能量损失被称为能量损耗。速度的变化可能导致能量损失，例如当管道突然扩大或收缩时、管道从大容器中伸出时、管道出口处、流动通道中有障碍物时、管道逐渐收缩或扩大时、存在弯道以及各种管件等情况下。由于摩擦损失较小，因此在长管道中的摩擦损失被归类为“次要”损失。在整个流动路径上只有少数几个这样的小损失点。对于上述每种情况，我们都会讨论相应的能量损失计算公式。由于突然膨胀导致的能量损失
该管道的横截面积为 A1，其中流动的液体具有特定的重量 w。该管道与另一根横截面积更大的管道（A2）相连。由于较小管道的流通通道突然变窄，液体无法适应这种流动条件的突然变化。由此产生的湍流涡旋使得流体与边界分离，导致热量通过辐射方式散失。流经较窄和较宽管道的液体的压力（P1, V1）以及速度（P2, V2）分别对应于相应的压力（P1, V1）和流量（Q）。
Q = A1V1 + A2V2
作用在受控体积上的流体动力，其方向与流动方向一致，可描述为：
P1A1 + P1 (A2 – A1) – P2A2 = (P1 – P2) × A2
当牛顿第二定律被用来计算动量变化率以及由于两个部分‘1’和‘2’突然扩大而产生的压头损失时，当应用伯努利方程时，我们得到……
为了表达方程（3），需要使用连续性方程。
头部的突然增大可以通过方程式（3）和（4）来表示。
由于突然收缩而导致的能量损失
如图所示，一根输送特定液体（液体重量为 w）的管道在某一点的横截面积从 A1 突然减小到 A2。管道几何形状的突然变化导致流线发生弯曲，特别是在 ‘1’ 和 ‘2’ 这两个部分交汇处，使得液体加速流动。这种加速作用会导致环形截面上压力出现未知的变化，而这种变化无法被测量。在 ‘1’ 部分与管道收缩部分之间，没有明显的能量损失。当液体从较粗的管道流向较细的管道时，会在两者之间形成一个收缩区域（vena-contract）。随后，液体进一步扩散，直到完全充满较细的管道。在这个收缩区域与管道壁之间会形成许多涡流，导致大量的能量损失。由于管道突然扩张，该区域也会出现类似的流动模式。
头部突然收缩会导致以下头部结构的丧失：
管道入口处的能量损失
管道入口处的损失也被称为“入口损失”。如果使用大型容器（或储罐）将物料送入管道，这种情况就可能发生。此时，流体流动模式会突然发生变化。在具有尖锐拐角的入口处，压头损失可以表示如下：管道出口处的能量损失
根据输送液体的管道末端不同，出口可能是未连接的，也可能是连接到储液罐的。当液体从管道中流出时，它会携带一定的动能，这种动能取决于液体在管道中的流速，并且会根据出口处的条件以自由射流或湍流的形式在储液罐中耗散。通过使用上述公式以及当 A2 → ∞ 的条件，可以计算出这种能量损失。因此，管道出口处的能量损失可以表示为以下公式：管道中的液体以平均速度 V 流动。
流动通道中的阻塞导致的能量损失
该图展示了流体流动受阻时，管道横截面积如何突然减小，随后流体在受阻区域之后迅速扩散，从而导致能量损失。
例如，想象一个管道中的流体流动情况：在管道中放置了一个最大横截面积为 'a' 的障碍物。这导致流道面积减小到 (A - a)，并且在距离障碍物一定距离处形成了一个流速变窄的区域（即“vena-contracta”）。在该区域之后，流体流动变得均匀。Vc 和 V 分别代表流速均匀区域的流速，因此可以通过流速变窄区域和流速均匀区域的流速来计算压头损失。